La sezione aurea, I

Aurea sectio è il titolo di questo blog. Ma cos’è questa “sezione aurea”? Forse alcuni l’avranno studiato alle superiori, ma credo saranno ancora di meno a ricordarselo. La definizione è semplice: il problema parte dal suddividere un segmento in due parti, in modo tale che la lunghezza della seconda parte stia alla prima come la prima sta al segmento intero. Capito niente? Si tratta di proporzioni. Disegnino:

Supponiamo dunque che il segmento CB sia lungo 1, ed indichiamo con x la lunghezza della parte AC: in tal modo il segmento AB sarà lungo x + 1. Dunque riprendiamo quel che stavamo dicendo: la seconda parte, cioè CB, sta alla prima parte, cioè AC, come la prima parte, cioè di nuovo AC, sta al segmento intero, cioè AB. Tradotto in termini matematici, si ha la proporzione

1 : x = x : (x + 1),

e dato che il prodotto dei termini medi è uguale al prodotto degli estremi, si arriva all’equazione x² = x + 1. Questa equazione, come tutte le equazioni di secondo grado, ha due soluzioni, e nel nostro caso sono anche due soluzioni reali (cioè, per chi non ha presente cosa siano due numeri reali: sto dicendo che esistono effettivamente due numeri come si intendono di solito che risolvono l’equazione). Tuttavia, non entrambe sono soluzioni accettabili, perché una delle due è negativa: come sarebbe possibile che il segmento AC possa avere una lunghezza negativa? La soluzione positiva invece vale esattamente e approssimativamente

e viene chiamata sezione aurea, o anche proporzione divina, e viene indicata con la lettera greca φ (phi). (In letteratura matematica, c’è chi considera come φ il numero 0.61803…, che sarebbe l’inverso di quello che noi abbiamo considerato. Da notare che si tratterebbe proprio di φ – 1.) Questo numero è stato usato molto in passato come metro di proporzione tra le cose più disparate, come ad esempio il rapporto tra larghezza ed altezza di un quadro, o della facciata di un palazzo. Secoli fa erano già note così tante proprietà che non soprende che gli sia stato assegnato il nome di “proporzione divina”, per l’appunto, quasi ad indicare il carattere “superiore” di tale numero.

Nelle prossime puntate scopriremo tutte le interessanti e soprendenti proprietà che possiede il numero φ, cioè la sezione aurea. Per ora, cominciamo a spiegare il significato del sottotitolo del blog: se il blog è φ, e vi si aggiunge un pensiero (cioè 1), si ottiene φ + 1, che per quanto visto prima è uguale a φ². Dunque, abbiamo elevato il blog ad una potenza superiore! 🙂

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Published in: on mercoledì, 28 giugno 2006 at 22.19  Comments (17)  

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17 commentiLascia un commento

  1. […] Stavamo dunque parlando della sezione aurea e delle sue tante particolarità. Questo numero φ, che vale all’incirca 1.61803, abbiamo già visto che elevato al quadrato vale proprio φ + 1, cioè circa 2.61803: era evidente dall’equazione φ2 = φ + 1. Da questa stessa equazione possiamo ricava un’altra proprietà: se infatti dividiamo entrambi i membri per φ otteniamo φ = 1 – 1/φ, cioè 1/φ = φ – 1. Questo significa che l’inverso di φ vale φ – 1, cioè circa 0.61803. Simpatico, no? […]

  2. Ciao MaxArt,
    ogni tanto mi capita di leggere tuoi interventi sul forum di HardwareUpgrade o qualche post su uno dei tuoi blog: apprezzo parecchio lo sforzo che fai nella “divulgazione” di vari temi interessanti, non ultimo questo sulla successione di Fibonacci e sulla sezione aurea (che di tanto in tanto toccano non solo elementi naturali, ma anche astratte elucubrazioni informatiche).

    Oltre a lasciarti i miei complimenti per i tuoi lavori, volevo farti notare che nell’articolo dici:
    vale esattamente e approssimativamente
    ma questa forma suona parecchio come un ossimoro.

    ciao 😉

  3. Nessun ossimoro: prima ho indicato il valore esatto, poi quello approssimato 😉
    Purtroppo è un po’ che non pubblico più articoli di rilevanza su questo blog. Ne ho iniziati diversi ma finiti nessuno, me ne dispiaccio 😦

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