La sezione aurea, II

Stavamo dunque parlando della sezione aurea e delle sue tante particolarità. Questo numero φ, che vale all’incirca 1.61803, abbiamo già visto che elevato al quadrato vale proprio φ + 1, cioè circa 2.61803: era evidente dall’equazione φ2 = φ + 1. Da questa stessa equazione possiamo ricava un’altra proprietà: se infatti dividiamo entrambi i membri per φ otteniamo φ = 1 – 1/φ, cioè 1/φ = φ – 1. Questo significa che l’inverso di φ vale φ – 1, cioè circa 0.61803. Simpatico, no?

Per adesso mi fermerò qui con i giochetti numerici, per parlare di ciò di cui avevo accennato nel precedente articolo: l’uso della sezione aurea in arte. Consideriamo quindi il cosiddetto “rettangolo aureo”, la cui base e altezza stanno tra loro come la sezione aurea:

Il rettangolo aureo

Dunque, il rapporto b/a è uguale proprio a φ. Questo rettangolo, che appare piuttosto piacevole alla vista ed assomiglia molto all’idea che molti hanno quando si pensa ad un rettangolo, è stato usato come forma per quadri, per edifici, e per tante cose collegate all’arte, anche in tempi recenti.

Penso che questa foto del Partenone spieghi già molte cose:

Il Partenone e la sezione aurea

La facciata è stata contornata con un rettangolo, che come si può intuire è un rettangolo aureo. Le altre linee nel mezzo indicano una peculiarità del rettangolo aureo: se da esso ne togliamo un quadrato di lato pari all’altezza, la parte rimanente è ancora un rettangolo aureo.

... rimane sempre un rettangolo aureo!

La dimostrazione di ciò è abbastanza semplice: dalla premessa che b/a = φ basta dividere il numeratore ed il denominatore del rapporto a/(ba) per a e con dei semplici passaggi si arriva alla conclusione.

Nel penultimo passaggio bisogna ricordare che, per quanto visto prima, φ – 1 è uguale all’inverso di φ. Dunque, torniamo alla foto del Partenone, e togliamo un quadrato dalla sinistra: dal rettangolo rimasto, togliamo un quadrato dal basso, ed avremo ancora un rettangolo aureo, e così via. Lo scultore ed architetto greco Fidia, che supervisionò la costruzione del Partenone, utilizzò questi rettangoli più piccoli per determinare l’altezza delle colonne e del frontone. E proprio a Fidia si è dedicato il simbolo della sezione aurea: la “phi” greca, appunto, iniziale del nome di Fidia.

L’uso della sezione aurea fu riscoperto anche in epoca rinascimentale, e si suppone che Leonardo ne facesse uso (nella Gioconda, ad esempio), anche per determinare le proporzioni del corpo umano. In tempi più recenti, fu l’architetto Le Corbusier ad utilizzarlo nei suoi progetti.

E le meraviglie della sezione aurea non sono che appena cominciate…

Published in: on lunedì, 3 luglio 2006 at 23.59  Comments (17)