La sezione aurea, II

Stavamo dunque parlando della sezione aurea e delle sue tante particolarità. Questo numero φ, che vale all’incirca 1.61803, abbiamo già visto che elevato al quadrato vale proprio φ + 1, cioè circa 2.61803: era evidente dall’equazione φ2 = φ + 1. Da questa stessa equazione possiamo ricava un’altra proprietà: se infatti dividiamo entrambi i membri per φ otteniamo φ = 1 – 1/φ, cioè 1/φ = φ – 1. Questo significa che l’inverso di φ vale φ – 1, cioè circa 0.61803. Simpatico, no?

Per adesso mi fermerò qui con i giochetti numerici, per parlare di ciò di cui avevo accennato nel precedente articolo: l’uso della sezione aurea in arte. Consideriamo quindi il cosiddetto “rettangolo aureo”, la cui base e altezza stanno tra loro come la sezione aurea:

Il rettangolo aureo

Dunque, il rapporto b/a è uguale proprio a φ. Questo rettangolo, che appare piuttosto piacevole alla vista ed assomiglia molto all’idea che molti hanno quando si pensa ad un rettangolo, è stato usato come forma per quadri, per edifici, e per tante cose collegate all’arte, anche in tempi recenti.

Penso che questa foto del Partenone spieghi già molte cose:

Il Partenone e la sezione aurea

La facciata è stata contornata con un rettangolo, che come si può intuire è un rettangolo aureo. Le altre linee nel mezzo indicano una peculiarità del rettangolo aureo: se da esso ne togliamo un quadrato di lato pari all’altezza, la parte rimanente è ancora un rettangolo aureo.

... rimane sempre un rettangolo aureo!

La dimostrazione di ciò è abbastanza semplice: dalla premessa che b/a = φ basta dividere il numeratore ed il denominatore del rapporto a/(ba) per a e con dei semplici passaggi si arriva alla conclusione.

Nel penultimo passaggio bisogna ricordare che, per quanto visto prima, φ – 1 è uguale all’inverso di φ. Dunque, torniamo alla foto del Partenone, e togliamo un quadrato dalla sinistra: dal rettangolo rimasto, togliamo un quadrato dal basso, ed avremo ancora un rettangolo aureo, e così via. Lo scultore ed architetto greco Fidia, che supervisionò la costruzione del Partenone, utilizzò questi rettangoli più piccoli per determinare l’altezza delle colonne e del frontone. E proprio a Fidia si è dedicato il simbolo della sezione aurea: la “phi” greca, appunto, iniziale del nome di Fidia.

L’uso della sezione aurea fu riscoperto anche in epoca rinascimentale, e si suppone che Leonardo ne facesse uso (nella Gioconda, ad esempio), anche per determinare le proporzioni del corpo umano. In tempi più recenti, fu l’architetto Le Corbusier ad utilizzarlo nei suoi progetti.

E le meraviglie della sezione aurea non sono che appena cominciate…

Annunci
Published in: on lunedì, 3 luglio 2006 at 23.59  Comments (17)  

The URI to TrackBack this entry is: https://maxart.wordpress.com/2006/07/03/la-sezione-aurea-ii/trackback/

RSS feed for comments on this post.

17 commentiLascia un commento

  1. questo sito è una merda!
    in 1.60 min.di navigazione in internet non sono riuscito a capire che cazzo sia sta gran cazzo di sezione aurea..e doma devo consegnare la tavola

    • [NdM non c’è bisogno di essere agressivi]… è un rapporto armonico in cui la prima parte è in rapporto alla seconda come la seconda è in rapporto alla somma delle due…

  2. Mi dispiace che non abbia capito cosa sia la sezione aurea, ma tieni presente che questo sito è un blog personale, senza un intento didattico.
    In ogni caso, la definizione l’ho data, ho dato anche alcune proprietà e spunti. Non so che ricerca tu debba fare, ma per approfondire l’argomento esistono centinaia di siti a riguardo, a cominciare da quello sulla Wikipedia.

  3. Io, invece, ho trovato il blog interessante, elegante, ricco di spunti culturali e politici che, in larga parte ho condiviso.
    Anche i due brevi articoli sulla sezione area sono molto chiari. Sull’argomento, è noto, sono stati scritti interi trattati (matematica, biologia, architettura, filosofia e psicologia) ma invito comunque l’autore a continuare nella sua missione “divulgativa” magari con un terzo ed un quarto articolo.
    Se un’internauta avrà la pazienza di rimanere un po’ più di 1,60 minuti (!!!) sull’argomento, forse riuscirà a stimolare quella “curiosità di sapere” che è, forse, il motore principale della conoscenza.

  4. Sto leggendo il libro di Mario Livio “La sezione aurea”sia per interesse personale sia perchè intendo basare la mia tesina d’esame su questo numero.
    E’ interessante notare come alcune conclusioni alle quali sono giunti diversi autori nel passato siano fondamentalmente sbagliate o troppo arbitrarie(le misure prese del partenone, ad esempio, sono state rilevate in modo da far tornare il nostro numero phi).Nel libro comunque sono espresse bene alcune proprietà del numero, vi invito a leggerlo..

  5. Alcune di quelle proprietà vorrei appunto cercare di illustrarle nel mio blog. Sono talmente tante che è addirittura possibile, per l’appunto, scriverci un libro di 300 pagine, come ha fatto Mario Livio.

    La questione del Partenone in effetti è un po’ diversa. Infatti è assai improbabile che Fidia facesse uso della sezione aurea; è invece plausibile che già dall’antichità si facesse uso di particolari rapporti per la creazione “perfetta” di opere di varia natura. In particolare, la sezione aurea può essere ben approssimata da 8/5, rapporto che potrebbe essere facilmente stato usato nella costruzione del Partenone.

    Invece altre proprietà della sezione aurea hanno una giustificazione corretta. Io, devo ammettere, ho preferito illustrare questioni il più possibili accattivanti per il lettore, ma più che altro collegandole alla “bellezza” del rapporto aureo. Forse faccio lo stesso errore di Mario Livio, ma per fortuna non sono andato troppo in là! 😉

  6. Blog molto carino!!!
    Conosco molto bene la sezione aurea (Sto facendo la tesi di maturità proprio su questo argomento)!
    Complimenti ancora per il blog!!!!!

  7. andate tutti a quel paese!!!!!!! mia nonna sarebbe più capace di voi a spiegare ‘sta boiata!!!!!!!

  8. Beh, una soluzione ci sarebbe: chiama tua nonna e le fai scrivere un commento.
    Ma nel frattempo potresti anche dire cosa non è chiaro, mh? O scrivi solo per sgranchirti le dita?

  9. Non è mai stato studiato a scuola la concezione della «sezione aurea» in relazione a delle interessanti implicazioni facendo uso della trigonometria e poi della geometria analitica. L’inverso della «sezione aurea» 1,618033989 come si sa è 0,618033988…, ma subentrando la trigonometria si trova un angolo particolare dalle notevoli proprietà. Naturalmente lo si può chiamare «angolo aureo», anch’esso phi, mettiamo. Così avremo che phi = arcsen 0,618033988… = 38,17270763…° (gradi sessaggesimali). Quali le accennate peculiarità di quest’angolo? Che le funzioni trigonometriche del relativo coseno e tangente sono uguali fra loro. Infatti cos 38,17270763…° = 0,786151377… e tang 38,17270763…° = 0,786151377…Sorprendente vero? Ma c’è dell’altro se ci occupiamo della cosa servendoci della geometria analitica. Per esempio facendo intersecare un determinato cerchio con una parabola come segue. Parabola canonica: coordinate fuoco (p/2,0); direttrice x = -p/2 . 2) Cerchio: raggio r = p/2; coordinate centro (0,0) coincidente col vertice dell’origine parabola con l’asse X. 3) Se P è il punto d’intersezione della parabola col cerchio, F il fuoco della parabola e Q la proiezione di P sull’asse x, l’angolo QPF è quello che risulta, dal calcolo, pari a 38,1727076…°, l’«angolo aureo» phi, appunto. Detto questo le meraviglie non finiscono qui perché se l’intersezione di un determinato cerchio con la parabola appropriata, come già visto, porta all’«angolo aureo», altre intersezioni di coniche portano allo stesso scopo. Così può essere facendo intersecare la parabola, prima considerata di coordinate fuoco (p/2,0) e direttrice (x = –p/2), con una ellisse di coordinate centro (0,0), segmenti a = p e b = p/2, per dar luogo, appunto, ad un’ascissa, y = 0,786151138…, che è, poi, il valore della tangente dell’«angolo aureo» in questione.
    Gaetano Barbella Il geometra pensiero in rete

  10. Ciao Max, c’è un segno sbagliato che può incasinare i pivelli: dividendo φ2 = φ + 1 per φ otteniamo φ = 1/φ + 1, non φ = 1 – 1/φ.

  11. [Niente bestemmie, grazie. NdMaxArt]

  12. Ottima spiegazione, grazie. La Foto del partenone è stata illuminante. Buon lavoro.

  13. mi sono satati molto utili i file relativi alla sezione aurea….sono informazioni soddisfaccenti…..grazie

  14. se vi interessa l’argomento ho postato un video su youtube sulla sezione aurea del Partenone al seguente indirizzo:

  15. I like what you guys tend to be up too. This sort of clever work and
    coverage! Keep up the good works guys I’ve incorporated you guys to our blogroll.

  16. I am really happy to read this blog posts which consists of tons of helpful information,
    thanks for providing these data.


Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...

%d blogger hanno fatto clic su Mi Piace per questo: