Tesseratto

Tutti hanno presente cos’è un cubo: un oggetto tridimensionale formato da sei facce quadrate poste perpendicolarmente a due a due. Nessun trucco, qui. E nessun trucco se si chiede qual è il “corrispettivo bidimensionale” del cubo: alla maggior parte delle persone verrà in mente il quadrato.

Estendendo questo concetto, ci si può chiedere il corrispettivo unidimensionale del cubo, ma uno può rimanere spiazzato. Eppure il ragionamento può essere intuitivamente semplice: il cubo (così come ogni altro poliedro tridimensionale) è delimitato da facce, mentre il quadrato da lati. Le facce del cubo sono quadrati, mentre i lati del quadrato sono segmenti. Ecco allora che il corrispettivo unidimensionale del cubo è semplicemente un segmento. A questo si poteva arrivare anche in altro modo, ovviamente: stiamo cercando un oggetto unidimensionale, cioè una linea; connesso, vale a dire “tutto d’un pezzo”; limitato, cioè non esteso infinitamente; e chiuso, dove cioè si possa dire con esattezza quali siano i punti che delimitano la figura. Un segmento, in definitiva.

Volendo esagerare, un cubo a “zero dimensioni”, secondo i ragionamenti sopra esposti, è facilmente identificabile in un punto: perché i punti delimitano il segmento, e perché semplicemente gli unici oggetti a zero dimensioni sono proprio i punti. Ma che cosa può essere il cubo a quattro dimensioni?

Se invece che partire dalle dimensioni maggiori per andare verso le minori, come s’è visto ora, si facesse il contrario, ci si rende conto di una cosa: per ottenere un cubo ad una dimensione (un segmento), si prendono due cubi a zero dimensioni (cioè due punti) e li si unisce con un segmento, ottenendo appunto un segmento. Per un cubo a due dimensioni (un quadrato), si prendono due segmenti e ne si uniscono gli estremi con dei segmenti. Infine, per un cubo tridimensionale si prendono due quadrati e si uniscono con dei segmenti. Torna tutto, no?

Come ottenere "cubi" di dimensioni superiori.

E allora ecco che abbiamo un modo per costruire il cubo a quattro dimensioni: prendiamo due cubi e ne uniamo i rispettivi vertici con dei segmenti. Facile, no? Beh, non proprio: un cubo a quattro dimensioni, o ipercubo, vive appunto in quattro dimensioni. Come facciamo allora ad avere la percezione di un oggetto a quattro dimensioni? Possiamo usare la tecnica vista finora? Proviamo:

L'ipercubo

Poco chiaro, vero? In effetti ci si confonde, perché si tratta di una proiezione in due dimensioni di una proiezione in tre dimensioni di un oggetto di quattro dimensioni! E per far mettere i due cubi alla stessa distanza che c’è tra i due vertici di uno spigolo, si è dovuto compenetrarli, cosa che non era capitato per costruire segmento, quadrato e cubo. Insomma, si perdono un mucchio informazioni sulla sua forma. Forse ci può venire in aiuto lo spostare uno dei due cubi all’interno dell’altro:

Un altro modo di rappresentare l'ipercubo.

Spero che sia più chiaro. Se ancora non lo fosse, con il nostro ipercubo, anche detto tesseratto (o tesseract) possiamo fare ancora una cosa: così come spesso abbiamo fatto con il cubo, possiamo “smontarlo”, cioè svilupparlo distaccando gli elementi che lo delimitano. Ecco cosa si ottiene, in confronto a quello che avviene con il cubo:

Cos’altro possiamo dire? Vediamo allora i limiti dell’ipercubo. Ad una dimensione, il segmento era delimitato da due estremi; a due dimensioni, il quadrato da quattro lati; a tre dimensioni, da sei facce. Per l’ipercubo e quattro dimensioni? Possiamo dunque intuitivamente dire che è delimitato da otto… oggetti tridimensionali, che possiamo asserire essere dei cubi, anche se nelle nostre rappresentazioni qui sopra appaiono deformati. Cosa possiamo dire, invece, di vertici, spigoli e facce? Forti di come abbiamo costruito l’ipercubo, possiamo facilmente notare che da una dimensione a quella superiori il numero di vertici raddoppia, per cui l’ipercubo ha 16 vertici contro gli 8 del cubo; che il numero di spigoli triplica (quindi il tesseratto ha 36 spigoli); mentre per le facce non abbiamo ancora esempi, ma se vi mettete a contare vedrete che il loro numero quadruplica rispetto al cubo, quindi l’ipercubo a quattro dimensioni ha 24 facce.

È sempre difficile immaginare oggetti di dimensioni superiori alla terza, ma credo che qualche passo sia stato fatto. Andando avanti per pura astrazione, possiamo già sapere come può essere un ipercubo a cinque, sei… mille dimensioni, anche se non abbiamo idea di come rappresentarli decentemente, né di che farcene!

Published in: on martedì, 14 luglio 2009 at 22.43  Comments (8)