Tesseratto

Tutti hanno presente cos’è un cubo: un oggetto tridimensionale formato da sei facce quadrate poste perpendicolarmente a due a due. Nessun trucco, qui. E nessun trucco se si chiede qual è il “corrispettivo bidimensionale” del cubo: alla maggior parte delle persone verrà in mente il quadrato.

Estendendo questo concetto, ci si può chiedere il corrispettivo unidimensionale del cubo, ma uno può rimanere spiazzato. Eppure il ragionamento può essere intuitivamente semplice: il cubo (così come ogni altro poliedro tridimensionale) è delimitato da facce, mentre il quadrato da lati. Le facce del cubo sono quadrati, mentre i lati del quadrato sono segmenti. Ecco allora che il corrispettivo unidimensionale del cubo è semplicemente un segmento. A questo si poteva arrivare anche in altro modo, ovviamente: stiamo cercando un oggetto unidimensionale, cioè una linea; connesso, vale a dire “tutto d’un pezzo”; limitato, cioè non esteso infinitamente; e chiuso, dove cioè si possa dire con esattezza quali siano i punti che delimitano la figura. Un segmento, in definitiva.

Volendo esagerare, un cubo a “zero dimensioni”, secondo i ragionamenti sopra esposti, è facilmente identificabile in un punto: perché i punti delimitano il segmento, e perché semplicemente gli unici oggetti a zero dimensioni sono proprio i punti. Ma che cosa può essere il cubo a quattro dimensioni?

Se invece che partire dalle dimensioni maggiori per andare verso le minori, come s’è visto ora, si facesse il contrario, ci si rende conto di una cosa: per ottenere un cubo ad una dimensione (un segmento), si prendono due cubi a zero dimensioni (cioè due punti) e li si unisce con un segmento, ottenendo appunto un segmento. Per un cubo a due dimensioni (un quadrato), si prendono due segmenti e ne si uniscono gli estremi con dei segmenti. Infine, per un cubo tridimensionale si prendono due quadrati e si uniscono con dei segmenti. Torna tutto, no?

Come ottenere "cubi" di dimensioni superiori.

E allora ecco che abbiamo un modo per costruire il cubo a quattro dimensioni: prendiamo due cubi e ne uniamo i rispettivi vertici con dei segmenti. Facile, no? Beh, non proprio: un cubo a quattro dimensioni, o ipercubo, vive appunto in quattro dimensioni. Come facciamo allora ad avere la percezione di un oggetto a quattro dimensioni? Possiamo usare la tecnica vista finora? Proviamo:

L'ipercubo

Poco chiaro, vero? In effetti ci si confonde, perché si tratta di una proiezione in due dimensioni di una proiezione in tre dimensioni di un oggetto di quattro dimensioni! E per far mettere i due cubi alla stessa distanza che c’è tra i due vertici di uno spigolo, si è dovuto compenetrarli, cosa che non era capitato per costruire segmento, quadrato e cubo. Insomma, si perdono un mucchio informazioni sulla sua forma. Forse ci può venire in aiuto lo spostare uno dei due cubi all’interno dell’altro:

Un altro modo di rappresentare l'ipercubo.

Spero che sia più chiaro. Se ancora non lo fosse, con il nostro ipercubo, anche detto tesseratto (o tesseract) possiamo fare ancora una cosa: così come spesso abbiamo fatto con il cubo, possiamo “smontarlo”, cioè svilupparlo distaccando gli elementi che lo delimitano. Ecco cosa si ottiene, in confronto a quello che avviene con il cubo:

Cos’altro possiamo dire? Vediamo allora i limiti dell’ipercubo. Ad una dimensione, il segmento era delimitato da due estremi; a due dimensioni, il quadrato da quattro lati; a tre dimensioni, da sei facce. Per l’ipercubo e quattro dimensioni? Possiamo dunque intuitivamente dire che è delimitato da otto… oggetti tridimensionali, che possiamo asserire essere dei cubi, anche se nelle nostre rappresentazioni qui sopra appaiono deformati. Cosa possiamo dire, invece, di vertici, spigoli e facce? Forti di come abbiamo costruito l’ipercubo, possiamo facilmente notare che da una dimensione a quella superiori il numero di vertici raddoppia, per cui l’ipercubo ha 16 vertici contro gli 8 del cubo; che il numero di spigoli triplica (quindi il tesseratto ha 36 spigoli); mentre per le facce non abbiamo ancora esempi, ma se vi mettete a contare vedrete che il loro numero quadruplica rispetto al cubo, quindi l’ipercubo a quattro dimensioni ha 24 facce.

È sempre difficile immaginare oggetti di dimensioni superiori alla terza, ma credo che qualche passo sia stato fatto. Andando avanti per pura astrazione, possiamo già sapere come può essere un ipercubo a cinque, sei… mille dimensioni, anche se non abbiamo idea di come rappresentarli decentemente, né di che farcene!

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Published in: on martedì, 14 luglio 2009 at 22.43  Comments (8)  

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8 commentiLascia un commento

  1. interessante:anche se è impossibile trasformare una teoria geometrica non reale in possibilità futuristiche reali

  2. In potenza, davvero interessante. In atto del tutto inutile.

  3. La definizione iniziale del cubo è insoddisfacente: “oggetto tridimensionale formato da sei facce quadrate poste perpendicolarmente a due a due”.
    Se c’è carenza di osservazione lucida per una realtà tangibile, come possiamo aspettarci di comprendere complessità superiori?

  4. avevo una questione, vediamo se riesci a risolverla te ne sarei infinitamente grato 🙂
    dunque noi in un cubo possiamo prendere una delle tre lati e allungarlo deformando il cubo e ottenendo un parallelepipedo, volevo sapere come fare una rappresentazione grafica di un ipercubo a cui è stata “allungata” la quarta dimensione…
    Se ho detto un sciocchezza chiedo scusa, comunque complimenti bell’articolo!
    Amedeo

  5. In questo articolo ho messo tre delle più comuni visualizzazioni del tesseratto. Si badi che si tratta di proiezioni in due dimensioni di una proiezione in tre dimensioni di un oggetto che “vive” in uno spazio di quattro dimensioni, quindi aggiungiamo deformazione a deformazione.

    Per quanto riguarda le prime due, potrei dirti semplicemente: allunga le facce, ed hai un parallelepipedo quadridimensionale. Ma il risultato sarebbe insoddisfacente, perché abbiamo già a che fare con facce deformate, non più quadrate, non più parallele, non più con angoli retti, per cui abbiamo solo una deformazione in più.

    Qualcosa di meglio si può fare con lo sviluppo delle iperfacce dell’ipercubo (che altro non sono che cubi, come si vede dall’immagine). Similmente a quel che succede con lo sviluppo di un parallelepipedo, dove i quadrati diventano rettangoli generici, alcune delle facce (o anche tutte, dipende se la deformazione è unidimensionale o più) si deformerebbero in parallelepipedi.

  6. Per chi ha detto che il concetto di tesseratto è inutile dico che ha trovato un ottimo impiego nell’analisi musicale. Vi sono interessanti usi di tale strumento geometrico per rappresentare tecniche armoniche nelle composizioni d alcuni autori, ad esempio di Chopin: Per chi vuole saperne di più invito a leggere il recente libro di D. Tymoczko, A Geometry of Music, Oxfrod 2011.

  7. Non è assolutamente inutile l’inizio della comprensione delle figure quadridimensionali. A mio avviso, stiamo semplicemente sbagliando punto di vista con cui approcciamo a questa geometria: non sono le figure a dovere entrare nella nostra dimensione abituale..tridimensionale. Come potrebbero? Come giustamente dicono sopra loro “vivono” nella quarta dimensione.
    Siamo noi, semmai, che dobbiamo “andare” nella quarta dimensione, la nostra vista deve “ampliarsi”. Noi uomini dobbiamo diventare a 4 dimensioni..o meglio..lo siamo già (vedi la grandiosa scoperta dei frattali), solo che dobbiamo “diventarne coscienti”. Essendo coscienti della nostra quadridimensionalità, possiamo cominciare a vedere anche graficamente tutto ciò che esiste in quarta dimensione.

    Mi ha colpita moltissimo l’osservazione fatta da un ragazzino su youtube, mentre spiegava i tesseratti: nella rotazione( che è movimento e quindi vita..) il fuori va dentro e il dentro va fuori e viceversa. In quarta dimensione un tesseratto in movimento è visibile sia nel fuori che nel dentro..sono la stessa cosa.

    Noi dobbiamo semplicemente prendere vita nella quarta dimensione e solo allora potremo vedere il movimento, quindi la vita e tutto ciò che ci dimora, nella quarta dimensione.

    Aggiungo..che potrebbe aiutare la visione e non poco la comprensione profonda del movimento del toroide.

  8. Frattali? Cosa hanno a che fare con la quarta dimensione? Sono oggetti bidimensionali con auto similarità su scala (leggasi ingrandimento) diversa.
    Nella rotazione in ipercubo non si compenetra, ma, banalmente, ruota in modo solido. Quelle rotazioni in 3D di cui youtube è pieno sono (come qui detto) tentativi di riprodurre una proiezione di un oggetto n-dimensionale. Il fuori non va dentro e viceversa, dovrebbe solo servire a far capire a chi visiona il video che la parte che sembra essere interna è in realtà anche essa esterna, un po’ come la quarta figura qui presente, in cui sembrerebbe di avere un cubo più piccolo dentro uno più grande.

    Diventare coscienti non serve, basta studiare analisi 1 per essere coscienti di n-dimensioni.

    In oltre, considerando di essere in un universo ad 10-11 o 26 dimensioni, teoria delle stringhe permettendo, che noi già siamo in 4 dimensioni (cronotopo), e che probabilmente le restanti 6-7 o 22 dimensioni sono microscopicamente avvolte su loro stesse, il “banale” universo 3D non è poi così malaccio..

    Saluti


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