Tesseratto

Tutti hanno presente cos’è un cubo: un oggetto tridimensionale formato da sei facce quadrate poste perpendicolarmente a due a due. Nessun trucco, qui. E nessun trucco se si chiede qual è il “corrispettivo bidimensionale” del cubo: alla maggior parte delle persone verrà in mente il quadrato.

Estendendo questo concetto, ci si può chiedere il corrispettivo unidimensionale del cubo, ma uno può rimanere spiazzato. Eppure il ragionamento può essere intuitivamente semplice: il cubo (così come ogni altro poliedro tridimensionale) è delimitato da facce, mentre il quadrato da lati. Le facce del cubo sono quadrati, mentre i lati del quadrato sono segmenti. Ecco allora che il corrispettivo unidimensionale del cubo è semplicemente un segmento. A questo si poteva arrivare anche in altro modo, ovviamente: stiamo cercando un oggetto unidimensionale, cioè una linea; connesso, vale a dire “tutto d’un pezzo”; limitato, cioè non esteso infinitamente; e chiuso, dove cioè si possa dire con esattezza quali siano i punti che delimitano la figura. Un segmento, in definitiva.

Volendo esagerare, un cubo a “zero dimensioni”, secondo i ragionamenti sopra esposti, è facilmente identificabile in un punto: perché i punti delimitano il segmento, e perché semplicemente gli unici oggetti a zero dimensioni sono proprio i punti. Ma che cosa può essere il cubo a quattro dimensioni?

Se invece che partire dalle dimensioni maggiori per andare verso le minori, come s’è visto ora, si facesse il contrario, ci si rende conto di una cosa: per ottenere un cubo ad una dimensione (un segmento), si prendono due cubi a zero dimensioni (cioè due punti) e li si unisce con un segmento, ottenendo appunto un segmento. Per un cubo a due dimensioni (un quadrato), si prendono due segmenti e ne si uniscono gli estremi con dei segmenti. Infine, per un cubo tridimensionale si prendono due quadrati e si uniscono con dei segmenti. Torna tutto, no?

Come ottenere "cubi" di dimensioni superiori.

E allora ecco che abbiamo un modo per costruire il cubo a quattro dimensioni: prendiamo due cubi e ne uniamo i rispettivi vertici con dei segmenti. Facile, no? Beh, non proprio: un cubo a quattro dimensioni, o ipercubo, vive appunto in quattro dimensioni. Come facciamo allora ad avere la percezione di un oggetto a quattro dimensioni? Possiamo usare la tecnica vista finora? Proviamo:

L'ipercubo

Poco chiaro, vero? In effetti ci si confonde, perché si tratta di una proiezione in due dimensioni di una proiezione in tre dimensioni di un oggetto di quattro dimensioni! E per far mettere i due cubi alla stessa distanza che c’è tra i due vertici di uno spigolo, si è dovuto compenetrarli, cosa che non era capitato per costruire segmento, quadrato e cubo. Insomma, si perdono un mucchio informazioni sulla sua forma. Forse ci può venire in aiuto lo spostare uno dei due cubi all’interno dell’altro:

Un altro modo di rappresentare l'ipercubo.

Spero che sia più chiaro. Se ancora non lo fosse, con il nostro ipercubo, anche detto tesseratto (o tesseract) possiamo fare ancora una cosa: così come spesso abbiamo fatto con il cubo, possiamo “smontarlo”, cioè svilupparlo distaccando gli elementi che lo delimitano. Ecco cosa si ottiene, in confronto a quello che avviene con il cubo:

Cos’altro possiamo dire? Vediamo allora i limiti dell’ipercubo. Ad una dimensione, il segmento era delimitato da due estremi; a due dimensioni, il quadrato da quattro lati; a tre dimensioni, da sei facce. Per l’ipercubo e quattro dimensioni? Possiamo dunque intuitivamente dire che è delimitato da otto… oggetti tridimensionali, che possiamo asserire essere dei cubi, anche se nelle nostre rappresentazioni qui sopra appaiono deformati. Cosa possiamo dire, invece, di vertici, spigoli e facce? Forti di come abbiamo costruito l’ipercubo, possiamo facilmente notare che da una dimensione a quella superiori il numero di vertici raddoppia, per cui l’ipercubo ha 16 vertici contro gli 8 del cubo; che il numero di spigoli triplica (quindi il tesseratto ha 36 spigoli); mentre per le facce non abbiamo ancora esempi, ma se vi mettete a contare vedrete che il loro numero quadruplica rispetto al cubo, quindi l’ipercubo a quattro dimensioni ha 24 facce.

È sempre difficile immaginare oggetti di dimensioni superiori alla terza, ma credo che qualche passo sia stato fatto. Andando avanti per pura astrazione, possiamo già sapere come può essere un ipercubo a cinque, sei… mille dimensioni, anche se non abbiamo idea di come rappresentarli decentemente, né di che farcene!

Published in: on martedì, 14 luglio 2009 at 22.43  Comments (8)  

La sequenza di Fibonacci, I

Beh, che credevate? Che avrei parlato della risicata nuova fiducia al vecchio governo? Che avrei lanciato frecciatine alla coerenza dei senatori di Rifondazione Comunista, compresi Rossi e Turigliatto, che danno l’appoggio ad un governo che si è prefissato di fare tutto ciò che in campagna elettorale hanno detto che avrebbero combattuto? Che avrei fatto facile ironia su Follini che sostiene un governo così affidabile ed attento ai valori cristiani da inventarsi le mezze famiglie dei Dico?

E invece no! Tié! Parlo di Matematica! Tanto non è mica cambiato niente, e quest’articolo ce l’avevo pronto. 😛 E racconto, guarda caso, della scoperta di un noto matematico pisano.

In altri due articoli avevo parlato della sezione aurea e delle sue proprietà. Oggi parlerò di un altro interessante oggetto matematico: la sequenza di Fibonacci. Si vedrà come questa successione infinita di numeri abbia relazioni sorprendenti proprio con la sezione aurea, ed altri peculiari enti matematici (come il triangolo di Tartaglia).

La sequenza di Fibonacci è definita in maniera molto semplice: i primi due numeri di tale sequenza sono pari ad 1, mentre i successivi sono pari alla somme dei due numeri precedenti. Dunque, il terzo numero è 2, il quarto è 2+1=3, il quinto 3+2=5 e così via:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Convenzionalmente, si indicano tali numeri con Fn, dove n indica il posto nella sequenza. Si pone F0 = 0, in modo che ancora F2=F0+F1. (Si può notare che si può ricostruire la sequenza di Fibonacci anche per Fn con n negativo: in questo caso si riottiene la solita sequenza ma con segni alterni, cioè 0, 1, -1, 2, -3, 5, -8, …)

Qualcuno si può chiedere da dove sia nata l’idea della sequenza di Fibonacci. E’ tutto partito da Leonardo da Pisa, figlio di Bonaccio (da cui Fibonacci), che descriveva il seguente problema: si supponga di avere una gabbia con una coppia di conigli giovani, e che questi in un mese diventino fertili, e dal mese successivo e così per ogni mese generino una coppia di conigli giovani. Ci si chiede quante coppie di conigli siano presenti nella gabbia dopo n mesi: la risposta è data appunto dall’n-esimo numero di Fibonacci.

Perché la sequenza di Fibonacci riveste un ruolo importante nella cultura matematica? Per quanto l’origine di tale successione sembri astratto ed artificioso, è sorprendente come i numeri di Fibonacci si possano trovare in ambiti naturali, per motivi ancora non del tutto noti. L’esempio più lampante riguarda la fillotassi, cioè l’ordine di disposizione di foglie, petali, stami, brattee, rami lungo il fusto della pianta.

Un fiore di girasole

Se si conta il numero di spirali disegnate nella corolla in un senso e nell’altro si arriva ad un risultato sorprendente: sono 34 e 55, cioè due numeri consecutivi della sequenza di Fibonacci! Ed in seguito vedremo che anche la forma delle spirali è in un certo modo collegata a tale sequenza, così come è collegata alla sezione aurea in un modo che vedremo presto, nei prossimi articoli.

Published in: on venerdì, 2 marzo 2007 at 14.00  Lascia un commento  

La sezione aurea, II

Stavamo dunque parlando della sezione aurea e delle sue tante particolarità. Questo numero φ, che vale all’incirca 1.61803, abbiamo già visto che elevato al quadrato vale proprio φ + 1, cioè circa 2.61803: era evidente dall’equazione φ2 = φ + 1. Da questa stessa equazione possiamo ricava un’altra proprietà: se infatti dividiamo entrambi i membri per φ otteniamo φ = 1 – 1/φ, cioè 1/φ = φ – 1. Questo significa che l’inverso di φ vale φ – 1, cioè circa 0.61803. Simpatico, no?

Per adesso mi fermerò qui con i giochetti numerici, per parlare di ciò di cui avevo accennato nel precedente articolo: l’uso della sezione aurea in arte. Consideriamo quindi il cosiddetto “rettangolo aureo”, la cui base e altezza stanno tra loro come la sezione aurea:

Il rettangolo aureo

Dunque, il rapporto b/a è uguale proprio a φ. Questo rettangolo, che appare piuttosto piacevole alla vista ed assomiglia molto all’idea che molti hanno quando si pensa ad un rettangolo, è stato usato come forma per quadri, per edifici, e per tante cose collegate all’arte, anche in tempi recenti.

Penso che questa foto del Partenone spieghi già molte cose:

Il Partenone e la sezione aurea

La facciata è stata contornata con un rettangolo, che come si può intuire è un rettangolo aureo. Le altre linee nel mezzo indicano una peculiarità del rettangolo aureo: se da esso ne togliamo un quadrato di lato pari all’altezza, la parte rimanente è ancora un rettangolo aureo.

... rimane sempre un rettangolo aureo!

La dimostrazione di ciò è abbastanza semplice: dalla premessa che b/a = φ basta dividere il numeratore ed il denominatore del rapporto a/(ba) per a e con dei semplici passaggi si arriva alla conclusione.

Nel penultimo passaggio bisogna ricordare che, per quanto visto prima, φ – 1 è uguale all’inverso di φ. Dunque, torniamo alla foto del Partenone, e togliamo un quadrato dalla sinistra: dal rettangolo rimasto, togliamo un quadrato dal basso, ed avremo ancora un rettangolo aureo, e così via. Lo scultore ed architetto greco Fidia, che supervisionò la costruzione del Partenone, utilizzò questi rettangoli più piccoli per determinare l’altezza delle colonne e del frontone. E proprio a Fidia si è dedicato il simbolo della sezione aurea: la “phi” greca, appunto, iniziale del nome di Fidia.

L’uso della sezione aurea fu riscoperto anche in epoca rinascimentale, e si suppone che Leonardo ne facesse uso (nella Gioconda, ad esempio), anche per determinare le proporzioni del corpo umano. In tempi più recenti, fu l’architetto Le Corbusier ad utilizzarlo nei suoi progetti.

E le meraviglie della sezione aurea non sono che appena cominciate…

Published in: on lunedì, 3 luglio 2006 at 23.59  Comments (17)  

La sezione aurea, I

Aurea sectio è il titolo di questo blog. Ma cos’è questa “sezione aurea”? Forse alcuni l’avranno studiato alle superiori, ma credo saranno ancora di meno a ricordarselo. La definizione è semplice: il problema parte dal suddividere un segmento in due parti, in modo tale che la lunghezza della seconda parte stia alla prima come la prima sta al segmento intero. Capito niente? Si tratta di proporzioni. Disegnino:

Supponiamo dunque che il segmento CB sia lungo 1, ed indichiamo con x la lunghezza della parte AC: in tal modo il segmento AB sarà lungo x + 1. Dunque riprendiamo quel che stavamo dicendo: la seconda parte, cioè CB, sta alla prima parte, cioè AC, come la prima parte, cioè di nuovo AC, sta al segmento intero, cioè AB. Tradotto in termini matematici, si ha la proporzione

1 : x = x : (x + 1),

e dato che il prodotto dei termini medi è uguale al prodotto degli estremi, si arriva all’equazione x² = x + 1. Questa equazione, come tutte le equazioni di secondo grado, ha due soluzioni, e nel nostro caso sono anche due soluzioni reali (cioè, per chi non ha presente cosa siano due numeri reali: sto dicendo che esistono effettivamente due numeri come si intendono di solito che risolvono l’equazione). Tuttavia, non entrambe sono soluzioni accettabili, perché una delle due è negativa: come sarebbe possibile che il segmento AC possa avere una lunghezza negativa? La soluzione positiva invece vale esattamente e approssimativamente

e viene chiamata sezione aurea, o anche proporzione divina, e viene indicata con la lettera greca φ (phi). (In letteratura matematica, c’è chi considera come φ il numero 0.61803…, che sarebbe l’inverso di quello che noi abbiamo considerato. Da notare che si tratterebbe proprio di φ – 1.) Questo numero è stato usato molto in passato come metro di proporzione tra le cose più disparate, come ad esempio il rapporto tra larghezza ed altezza di un quadro, o della facciata di un palazzo. Secoli fa erano già note così tante proprietà che non soprende che gli sia stato assegnato il nome di “proporzione divina”, per l’appunto, quasi ad indicare il carattere “superiore” di tale numero.

Nelle prossime puntate scopriremo tutte le interessanti e soprendenti proprietà che possiede il numero φ, cioè la sezione aurea. Per ora, cominciamo a spiegare il significato del sottotitolo del blog: se il blog è φ, e vi si aggiunge un pensiero (cioè 1), si ottiene φ + 1, che per quanto visto prima è uguale a φ². Dunque, abbiamo elevato il blog ad una potenza superiore! 🙂

Published in: on mercoledì, 28 giugno 2006 at 22.19  Comments (17)